\chapter{1941年费曼推导量子电动力学的路径积分表述}
\author{理查德·费曼 (Richard P. Feynman)}
\date{1941年（重构版本）}

	\begin{abstract}
		本文重构了费曼在1941年发展的量子电动力学（QED）的路径积分表述。通过引入经典作用量的相位因子 $\exp(iS/\hbar)$ 并对所有路径求和，我们展示了如何从量子力学原理自然导出电磁场与带电粒子的相互作用。该方法避免了正则量子化中的发散困难，为后来的重整化理论奠定了基础。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在狄拉克（Dirac）和薛定谔（Schrödinger）的量子力学框架下，电磁场的量子化面临发散问题。费曼的博士导师约翰·惠勒（John Wheeler）建议从作用量原理出发，发展新的量子化方法。
	
	\section{路径积分基本原理}
	量子系统的演化由对所有可能路径的加权求和决定：
	
	\begin{equation}
		K(x',t';x,t) = \int \mathcal{D}[x(t)] \, e^{iS[x(t)]/\hbar}
	\end{equation}
	
	其中：
	\begin{itemize}
		\item $K$ 是传播子
		\item $\mathcal{D}[x(t)]$ 表示对所有路径的泛函积分
		\item $S = \int L \, dt$ 是经典作用量
	\end{itemize}
	
	\section{电磁场中的电子}
	对于相对论性电子与电磁场的相互作用，拉氏量写作：
	
	\begin{equation}
		L = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} - q\phi + q\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}
	\end{equation}
	
	路径积分变为：
	
	\begin{equation}
		K = \int \mathcal{D}[x_\mu(\tau)] \exp\left[\frac{i}{\hbar}\int \left(-mc\,ds - \frac{q}{c}A_\mu dx^\mu\right)\right]
	\end{equation}
	
	\section{规范不变性}
	通过引入规范变换 $A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \Lambda$，可以验证路径积分的相位不变性：
	
	\begin{equation}
		\exp\left(-\frac{iq}{\hbar c}\int \partial_\mu \Lambda dx^\mu\right) = \exp\left(-\frac{iq}{\hbar c}[\Lambda(x')-\Lambda(x)]\right)
	\end{equation}
	
	\section{费曼图雏形}
	相互作用项 $j^\mu A_\mu$ 的展开导致级数求和，这后来发展为费曼图技术：
	
	\begin{align}
		K &= K_0 + \left(-\frac{iq}{\hbar c}\right)\int K_0 A_\mu K_0 \,d^4x \\
		&\quad + \left(-\frac{iq}{\hbar c}\right)^2 \iint K_0 A_\mu K_0 A_\nu K_0 \,d^4x\,d^4y + \cdots
	\end{align}
	
	\section{结论}
	路径积分方法提供了：
	\begin{itemize}
		\item 相对论性量子力学的直观图像
		\item 规范理论的天然表述框架
		\item 解决发散问题的新思路
	\end{itemize}
	
